A devolução de um problema e a construção de uma conjectura, o caso da soma dos ângulos de um triângulo

Autores

  • Nicolas Balacheff Directeur de recherche CNRS émérite, Equipe MeTAH, Modèles et Technologies pour l'Apprentissage Humain Laboratoire d’informatique de Grenoble Univ. Grenoble Alpes, CNRS, Grenoble INP https://orcid.org/0000-0001-7084-3482
  • Saddo Ag Almouloud Pontifícia Universidade Católica de São Paulo https://orcid.org/0000-0002-8391-7054
  • Méricles Tadeu Moretti Universidade Federal de Santa Catarina

DOI:

https://doi.org/10.23925/1983-3156.2022v24i1p872-950

Palavras-chave:

Devolução, Triângulo, Soma dos ângulos de um triângulo, Concepção de prova

Resumo

Este estudo faz parte do projeto de pesquisa que conduzi durante os anos 80 sobre as concepções de prova em matemática de alunos do ensino fundamental antes do ensino de prova matemática [em francês: demonstração]. A primeira parte deste projeto resultou na identificação de diferentes tipos de provas que os alunos podem mobilizar. A segunda parte investigou o princípio de design de situações que poderiam apoiar uma evolução das concepções dos alunos de provas susceptíveis de servir como uma base para o ensino de provas matemáticas; este artigo relata dois estudos de caso realizados neste projeto. Ele detalha os princípios de design, a implementação e a análise de uma sequência de situações destinadas a gerar debate sobre provas e refutações. Ele assume o desafio de rejeitar as provas empíricas para abrir o caminho para as provas intelectuais em que o ensino poderia fundamentar a introdução da prova matemática. Esta tradução do relatório inclui comentários, notas (Nota2020) e novas referências para facilitar a leitura e compreensão do leitor contemporâneo.

Metrics

Carregando Métricas ...

Biografia do Autor

Nicolas Balacheff, Directeur de recherche CNRS émérite, Equipe MeTAH, Modèles et Technologies pour l'Apprentissage Humain Laboratoire d’informatique de Grenoble Univ. Grenoble Alpes, CNRS, Grenoble INP

Nicolas Balacheff tem doutorado em didática da matemática (Grenoble 1, 1988) e é diretor de pesquisa do CNRS. Após uma formação em matemática pura e depois em informática teórica, ele defendeu uma tese de pós-graduação em informática em 1978 (uso de gráficos para modelagem e raciocínio de estudo) e depois uma tese de estado em didática da matemática em 1988 (Aprendizagem de prova em matemática). Desde 1988, ele tem dedicado suas atividades de pesquisa a questões na encruzilhada da didática da matemática e da informática. Em 1995 ele criou a equipe Computer Environments for Human Learning no laboratório Leibniz em Grenoble, França, e é dentro desta estrutura que ele realiza seu trabalho em EIAH com uma ênfase particular nos aspectos epistemológicos e na modelagem de aprendizes. Atualmente ele é membro da equipe de Modelos e Tecnologias para Aprendizagem Humana (MeTAH) no Laboratório de Informática Grenoble (LIG).

Saddo Ag Almouloud, Pontifícia Universidade Católica de São Paulo

Doutorado em Mathematiques et Applications - Université de Rennes 1 em 1992 - frança. Assistente doutor - pontifícia universidade católica de São Paulo, e assistente doutor da fundação Santo André. Consultor ad hoc da fundação de amparo a pesquisa do estado de são Paulo, da capes, bolsista pesquisador de CNPQ, foi coordenador do programa de estudos pós-graduados em educação matemática da PUC-SP de 2007 à 2009 e de 01/08/2013 a 31/07/2017. Atualmente é vice coordenador do referido programa. Foi coordenador do curso de especialização em educação matemática da PUC-SP de 2006 a 2017. Publicou mais de 50 artigos em periódicos especializados e mais de 83 trabalhos em anais de eventos. Possui 5 capítulos de livros e 12 livros publicados. Possui 1 software e mais de 62 itens de produção técnica. Participou de vários eventos no exterior e mais de 112 no brasil. Orientou mais 77 dissertações de mestrado e teses de doutorado na área de educação matemática entre 1996 e 2016. Participou de mais de 200 bancas de defesa de dissertações e doutorados. Coordenou mais de 5 projetos de pesquisa. Atualmente coordena 2 projetos de pesquisa. Atua na área de educação, com ênfase em educação matemática. É avaliador do prêmio victor civita desde 2013. Em suas atividades profissionais interagiu com mais 70 colaboradores em coautorias de trabalhos científicos. Em seu currículo lattes os termos mais frequentes na contextualização da produção científica, tecnológica e artístico-cultural são: ensino-aprendizagem, geometria, educação matemática, matemática, demonstração, ensino básico, formação de professores, geometria dinâmica, TIC.

Méricles Tadeu Moretti, Universidade Federal de Santa Catarina

Doutorado em Didática da Matemática

Referências

Arsac, G., Balacheff, N., & Mante, M. (1992). Teacher’s role and reproducibility of didactical situations.

Educational Studies in Mathematics, 23(1), 5–29. https://doi.org/10.1007/BF00302312

Artigue, M. (1986). Etude de la dynamique d’une situation de classe. Recherches en didactique des mathématiques, 7(1), 5–62.

Artigue, M. (1992). Didactic engineering. In R. Douady & A. Mercier (Eds.), Researh in Didactique of mathematics (pp. 41–66). La Pensée Sauvage Éd.

Balacheff, N. (1987). Processus de preuve et situations de validation. Educational Studies in Mathematics, 18(2), 147–176. https://doi.org/10.1007/BF00314724

Balacheff, N. (1999). Contract and Custom: Two Registers of Didactical Interactions (P. Herbst, Trans.). The Mathematics Educator, 9(2), 23–29.

Balacheff, N. (1988). A study of students’ proving processes at the junior high school level. In I. Wirszup & R. Streit (Eds.), Proceedings of the Second UCSMP International Conference on Mathematics Education (pp. 284–297). National Council of Teachers of Mathematics, Reston, VA.

Berdonneau, C. (1981). Quelques remarques sur l’introduction à la géométrie démontrée à travers les manuels en usage dans l’enseignement post-élémentaire en France au vingtième siècle [3ième cycle]. Paris 7.

Bertrand, L. (1812). Élémens de géométrie, par Louis Bertrand. chez J.J. Paschoud, Libraire, rue Mazarine, n° 22, et à Genève, chez le même imprimeur-libraire. http://archive.org/details/bub_gb_vPOOZDSnm0oC

Brousseau, G. (1984a). Le rôle du maître et l’institutionnalisation. Actes de La III° École d’été de Didactique Des Mathématiques. III° école d’été de didactique des mathématiques. http://guy-brousseau.com/wp- content/uploads/2012/03/84-11-R%C3%B4le-du-Ma%C3%AEtre.pdf

Brousseau, G. (1986). La théorisation des phénomènes d’enseignement des mathématiques. [Thèse de doctorat d’Etat]. Université Bordeaux 1.

Brousseau, G. (1997). Theory of didactical situations in mathematics (N. Balacheff, M. Cooper, R. Sutherland, & V. Warfield, Trans.). Kluwer Academic publishers.

Brousseau, G. (1984b). Etudes de questions d’enseignement. Un exemple, la géométrie. Séminaire de Didactique Des Mathématiques et de l’informatique, 45.

Choquet, G. (1964). L’enseignement de la géométrie (reprint 1966). Hermann.

Clairaut, A. C. (1741). Elemens de géométrie (1753rd ed.). David fils. https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k15218356

Close, G. S. (1982). Children’s understanding of angle at the primary / secondary transfer age [Master of science].

Polytechnic of the South Bank.

Devichi, C., & Munier, V. (2013). About the concept of angle in elementary school: Misconceptions and teaching sequences. The Journal of Mathematical Behavior, 32(1), 1–19. https://doi.org/10.1016/j.jmathb.2012.10.001

E. Rich (Ed.). (1969). Mathématiques 6°. Hatier.

Fishbein, E. (1982). Intuition and proof. For The Learning of Mathematics, 3(2), 9–18.

Fourrey, E. (1938). Curiosités géométriques (Deuxième édition). Vuibert et Nony éditeurs. https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k875649b

Giles, G. (1981). School mathematics under examination 3: Factors affecting the learning of mathematics. University of Stirling. https://www.worldcat.org/title/school-mathematics-under-examination-3- factors-affecting-the-learning-of-mathematics/oclc/15789298&referer=brief_results

Grosgurin, L. (1926). Enseignement de la géométrie. Méthodologie (1944th ed.). Payot & Cie.

Halbwachs, F. (1981). Significations et raison dans la pensée scientifique. Archives de Psychologie, XLIX(190), 199– 229.

Heath, T. L. (1921). A history of Greek mathematics (1981st ed., Vol. 1). Dover Publications Ltd.

Heath, T. L. (1956). The thirteen books of Euclid elements (Second edition revised with additions, Vol. 1). Dover Publications, Inc.

Henrici, O. (1879). Elementary geometry: Congruent figures. Longmans, Green. http://archive.org/details/elementarygeome00henrgoog

Hilbert, D. (1899). The foundation of geometry (E. J. Townsend, Trans.; Reprint edition, 1950). The Open Court Publishing Company. https://math.berkeley.edu/~wodzicki/160/Hilbert.pdf

IREM de Grenoble. (1985). Apprentissage du raisonnement. UGA, IREM de Grenoble.

Lakatos, I. (1976). Proofs and refutations—The logic of mathematical discovery. Cambridge University Press.

Le Rest, E. (1982). Il faut que j’y pense encore (les axiomes de la géométrie). In Commission inter-IREM épistémologie et histoire des mathématiques (Ed.), La rigueur et le calcul. CEDIC-Nathan.

Legendre, A. M. (1833). Réflexions sur les différentes manières de démontrer la théorie des parallèles. Mémoires de l’Académie des sciences de l’Institut de France, XII, 367–412.

Legendre, A.-M. (1794). Éléments de géométrie, avec des notes. Par Adrien-Marie Legendre. https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5720354t

Legrand, M. (1986). L’introduction du débat scientifique en situation d’enseignement. Publications de l’Institut de recherche mathématiques de Rennes, fascicule 5 « Didactique des mathématiques », 1988-1989 (exp. n°3), 1–16.

Legrand, M. (1993). Débat scientifique en cours de mathématiques et spécificité de l’analyse. Repères-IREM, 10, 123–159.

Legrand, M. (2001). Scientific Debate in Mathematics Courses. In D. Holton, M. Artigue, U. Kirchgräber, J. Hillel.

M. Niss, & A. Schoenfeld (Eds.), The Teaching and Learning of Mathematics at University Level: An ICMI Study (pp. 127–135). Springer Netherlands. https://doi.org/10.1007/0-306-47231-7_12

Legrand, M. (2002). Scientific Debate in Mathematics Courses. In D. Holton, M. Artigue, U. Kirchgräber, J. Hillel.

M. Niss, & A. Schoenfeld (Eds.), The Teaching and Learning of Mathematics at University Level (Vol. 7, pp. 127–135). Kluwer Academic Publishers. https://doi.org/10.1007/0-306-47231-7_12

Mach, E. (1908). La connaissance et l’erreur. Flammarion. https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k655583 Papy, G. (1967). Voici Euclide (Vol. 3). Editions M. Didier.

Queysanne, & Revuz (Eds.). (1972). Mathématiques 3°. Fernand Nathan.

Smith, D. E. (1925). History of mathematics (Unaltered republication, 1958, Vol. 2). Dover Publications, Inc. Stylianides, A. J. (2007). The Notion of Proof in the Context of Elementary School Mathematics. Educational Studies in Mathematics, 65(1), 1–20. https://doi.org/10.1007/s10649-006-9038-0

Tanguay, D., & Venant, F. (2016). The semiotic and conceptual genesis of angle. ZDM, 48(6), 875–894. https://doi.org/10.1007/s11858-016-0789-5

Thuret, M. (1934). Précis de géométrie. Librairie Fernand Nathan.

Vergnaud, Gérard. (1981). Quelques orientations théoriques et méthodologiques des recherches françaises en didactique des mathématiques. Recherche En Didactique Des Mathématiques, 2(2), 215–231.

Vergnaud, Gérard. (1990). La théorie des champs conceptuels. Recherches en Didactique des Mathématiques, 10(2/3), 133–170.

Vergnaud, Gérard. (2001). Forme opératoire et forme prédicative de la connaissance. 22. Vergnaud, Gerard. (2009). The Theory of Conceptual Fields. . . Human Development, 52, 83–94. Watzlawick, P. (1976). How real is real? Random House.

Downloads

Publicado

2022-04-22

Como Citar

BALACHEFF, N.; ALMOULOUD, S. A.; MORETTI, M. T. A devolução de um problema e a construção de uma conjectura, o caso da soma dos ângulos de um triângulo. Educação Matemática Pesquisa Revista do Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática, São Paulo, v. 24, n. 1, p. 872–950, 2022. DOI: 10.23925/1983-3156.2022v24i1p872-950. Disponível em: https://revistas.pucsp.br/index.php/emp/article/view/57669. Acesso em: 19 nov. 2024.

Edição

v. 24 n. 1 (2022): Volume 24 -1-2022

Seção

Tradução de artigo ou capítulo de livro

Licença

Creative Commons License

Este trabalho está licenciado sob uma licença Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0 International License.

Autores que publicam nesta revista concordam com os seguintes termos:

    1. Autores mantém os direitos autorais e concedem à revista o direito de primeira publicação, com o trabalho simultaneamente licenciado sob a Licença Creative Commons Attribution que permite o compartilhamento do trabalho com reconhecimento da autoria e publicação inicial nesta revista.
    2. Autores têm autorização para assumir contratos adicionais separadamente, para distribuição não-exclusiva da versão do trabalho publicada nesta revista (ex.: publicar em repositório institucional ou como capítulo de livro), com reconhecimento de autoria e publicação inicial nesta revista.
    3. Autores têm permissão e são estimulados a publicar e distribuir seu trabalho online (ex.: em repositórios institucionais ou na sua página pessoal) a qualquer ponto antes ou durante o processo editorial, já que isso pode gerar alterações produtivas, bem como aumentar o impacto e a citação do trabalho publicado (Veja O Efeito do Acesso Livre).