Uma interpretação geométrica de sistemas lineares e do processo de eliminação Gaussiana via vetores

Resumo

Este artigo aborda a relação entre a interpretação vetorial de sistemas lineares, o processo de eliminação gaussiana e o uso de ambientes de geometria dinâmica para favorecer a compreensão de conceitos de Álgebra Linear. O objetivo do estudo é apresentar e discutir construções no GeoGebra que tornam visíveis as conexões entre a resolução de (Ax=b), a combinação linear das colunas da matriz de coeficientes, as operações elementares de linha, os cisalhamentos e a fatoração (LU). Metodologicamente, caracteriza-se como uma pesquisa qualitativa, exploratório-descritiva e de desenvolvimento pedagógico, centrada na elaboração, análise matemática e descrição didática de applets interativos. Como resultados, o estudo explicita que uma operação elementar de eliminação gaussiana pode ser interpretada geometricamente como um cisalhamento; mostra que a composição desses cisalhamentos conduz naturalmente à fatoração (A=LU); e disponibiliza uma sequência de recursos GeoGebra para explorar dinamicamente as relações entre procedimentos algébricos, vetores, matrizes e transformações geométricas. A abordagem enfatiza a interpretação de Ax=b em termos de vetores-coluna: resolver um sistema linear significa expressar o lado direito como uma combinação linear das colunas da matriz de coeficientes. Nesse contexto, uma operação fundamental de linha na eliminação gaussiana possui uma contrapartida geométrica natural: uma transformação de cisalhamento. Essa perspectiva torna visível o significado geométrico do escalonamento e esclarece sua conexão com a fatoração LU de matrizes. Os aplicativos do GeoGebra possibilitam a exploração dinâmica das relações entre procedimentos algébricos, combinações de vetores, operações matriciais e transformações geométricas.